Назад: Фазовые переходы в модели Изинга Дальше: Заключение

Разделы этой страницы

Применение модели Изинга

Модель Изинга и газ на решетке

Модель Изинга была изобретена, чтобы описать фазовый переход в магнетике. Но она также описывает и другие важне явления, например фазовый переход жидкость-пар!

Рассмотрим такую
\begin{figure} \includegraphics{lattice_gas}\end{figure}
Каждая ячейка либо занята, либо пуста. Только ближайшие соседи могут взаимодействовать. Энергия взаимодействия $-\epsilon$. Свяжем это с моделью Изинга. Введем соответствующий частицам "спин"

\begin{displaymath} \sigma_i= \begin{cases} +1,&\text{cell $i$\space is occupied}\ -1,&\text{cell $i$\space is empty} \end{cases}\end{displaymath}

и, наоборот, сопоставим спинам обычной модели Изинга "частицы"

\begin{displaymath} (\sigma_i+1)/2 = \begin{cases} 1,&\text{cell $i$\space is occupied}\ 0,&\text{cell $i$\space is empty} \end{cases}\end{displaymath}

Полное число частиц

\begin{displaymath} N_p = \frac12\sum_i \left(\sigma_i+1\right) = \frac12 \sum_i \sigma_i + \frac{N}{2}\end{displaymath}

Взаимодействие между ячейками связано со спинами частиц.

\begin{displaymath} \epsilon_{12} = \begin{cases} -\epsilon,& \sigma_1=\sigma_2=1\ 0,& \text{otherwise} \end{cases}\end{displaymath}

Это может быть записано как

\begin{displaymath} \epsilon_{12} = -\frac14\epsilon\left(\sigma_1+1\right) \left(\sigma_2+1\right) \end{displaymath}

Полная энергия:

\begin{displaymath} \begin{gathered} E_p = -\frac{\epsilon}{8}\sum_{(i,j)}(\sig... ...psilon}{4}\sum_i\sigma_i - \frac{zN\epsilon}{8} \end{gathered}\end{displaymath}

Статсумма:  
 \begin{displaymath} \Xi = \sum_{\{\sigma\}} \exp\bigl(\beta\mu N_p-\beta E_p\bigr) = \sum_{\{\sigma\}} \exp\bigl(-\beta E_{\text{eff}}\bigr) \end{displaymath} (2)
с эффективной энергией:

\begin{displaymath} E_{\text{eff}} = -\frac{\epsilon}{8}\sum_{(i,j)}\sigma_i\sig... ...right)\sum_i\sigma_i - \frac{zN\epsilon}{8} + \frac{\mu N}{2}\end{displaymath}

Это (с точночтью до константы) Гамильтониан модели Изинга, причем

\begin{displaymath} J = \frac{\epsilon}{4}, \quad H = \frac{\mu}{2}+\frac{z\epsilon}{4}\end{displaymath}

Рассмотрим соответствие между Изинговским магнегиком и решеточным газом (с точностью до константы):
Магнетик Изинга Газ на решетке
   
Канонический ансамбль Большой канонический ансамбль
Взаимодействие (константа связи) J Энергия взаимодействия $\epsilon$
Внешнее поле H Химпотенциал $\mu$
Намагниченность M Плотность $\rho$
Свободная энегрия A $\Omega$-потенциал
Восприимчивость $\chi$ Сжимаемость $\alpha$
Изотропная фаза Суперкритическая жидкость
Анизотропная фаза Жидкость или газ
Точка Кюри Критическая точка

Обратите внимание:
В модели Изинга фазовый переход происходит при H=0. В решеточном газ он имеет место при $\mu=-z\epsilon/2\ne0$ - так как нет симметрии частица & дырка!

Модель Изинга и бинарные растворы на решетке

Рассмотрим несжимаемую смесь жидких A и B:
\begin{figure} \includegraphics{checkerboard}\end{figure}
Снова взаимодействуют только ближайшие соседи. Энергия взаимодействия:

\begin{displaymath} \begin{cases} 0,& \text{$AA$\space or $BB$\space contacts}\ \epsilon, & \text{$AB$\space contacts} \end{cases}\end{displaymath}

Снова введем значение "спина", соотвестсвующего такой системе:

\begin{displaymath} \sigma_i= \begin{cases} +1,&\text{cell $i$\space is occupi... ...$}\ -1,&\text{cell $i$\space is occupied by $B$} \end{cases}\end{displaymath}

Энергия взаимодействия между произвольными частицами 1 и 2 равна

\begin{displaymath} \epsilon_{12} = \frac12\epsilon(1-\sigma_1\sigma_2)\end{displaymath}

а полная энергия

\begin{displaymath} E_p= \frac{\epsilon}{4}\sum_{(i,j)}(1-\sigma_i\sigma_j) = \... ...zN\epsilon}{4} - \frac{\epsilon}{4}\sum_{(i,j)}\sigma_i\sigma_j\end{displaymath}

Разность числа частиц двух рассматриваемых компонент:

\begin{displaymath} N_A-N_B=\sum_i\sigma_i\end{displaymath}

Здесь никак не используешь большой канонический ансамбль, так как полное число частиц сохраняется (есть несжимаемость). Рассмотрим "полубольшой ансамбль" ("Semi-Grand Ansamble"): полное число частиц фиксированно, но but можно менять соотношение между A и B.

Статсумма при этом:

\begin{displaymath} \Xi_{SG} = \sum_{\{\sigma\}} \exp\bigl(\beta\Delta\mu (N_A-N... ...r) = \sum_{\{\sigma\}} \exp\bigl(-\beta E_{\text{eff}}\bigr) \end{displaymath}

где эффективная энергия

\begin{displaymath} E_{\text{eff}} = - \frac{\epsilon}{4}\sum_{(i,j)}\sigma_i\sigma_j - \Delta\mu\sum_i\sigma_i + \frac{zN\epsilon}{4}\end{displaymath}

Это снова модель Изинга с параметрами

\begin{displaymath} J = \frac{\epsilon}{2},\quad H = -\Delta\mu\end{displaymath}

Аналогия между Изинговским магнетиком и бинарным раствором:

Магнетик Изинга Бинарный раствор
   
Канонический ансамбль "Полубольшой" ансамбль
Взаимодействие (константа связи) J Энергия взаимодействия $2\epsilon$
Внешнее поле H Разность химпотенциалов компонент  $\Delta\mu$
НамагниченностьM Composition $\Delta\phi$
Разупорядоченная фаза Фаза раствора
Упорядоченная фаза Фаза расслаивания веществ А и В
Точка Кюри Критическая точка расслаивания

Изингоподобные модели

Каково дальнейшее развитие модели Изинга?

Назад: Фазовые переходы в модели Изинга Дальше: Заключение