030568 Специальный семинар по методам расчета функциональных интегралов и решеточных моделей

Seminar on Methods of Computation of Functional Integrals and Lattice Models

Профессор Аксёнова Елена Валентиновна

Цели и задачи:

Изучение численных методов расчета функциональных интегралов и решеточных моделей, области их применения, физических основ. Умение их применять для моделированию физических систем. Навыки в написании программ по расчету функциональных интегралов и решеточных моделей.

Програма:

I. Методы расчета функциональных интегралов.

1. Интегралы по траекториям в квантовой статистической физике.
2. Матрица плотности.
3. Метод вершин.
4. Метод Монте-Карло для интегралов по траекториям.
5. Метод Фурье.
6. Использование алгоритма Ванга-Ландау.
7. Реализация рассмотренных методов на примере гармонического осциллятора. Написание кода программ.
8. Расчет энергии системы.
9. Изучение зависимости энергии системы от температуры, других начальных параметров и параметров моделирования.

II. Методы расчета решеточных моделей.

1. Модель Изинга.
2. Модель Гейзенберга.
3. Моделирование ферромагнетиков.
4. Алгоритм Метрополиса.
5. Восприимчивость. Теплоемкость. Критические индексы.
6. Кластерный метод Вольфа.
7. Реализация рассмотренных методов на примере трехмерной модели Изинга. Написание кода программ.
8. Расчет энергии системы.
9. Изучение зависимости энергии системы от температуры, других начальных параметров и параметров моделирования.

Примеры контрольных вопросов и заданий

I. Методы расчета функциональных интегралов

Задание 1. Выполните расчет энергии квантового осциллятора методом вершин при следующих значениях параметров:

n = 5, E_max = 50, dx = 1.5, D = 3, N_MC = 10⁷.

Получите зависимость энергии от обратной безразмерной температуры b. В качестве значений обратной температуры можно взять

b = 0.25, 0.5, 1, 2, 4.

Выполните сравнение полученной зависимости с известным выражением для энергии квантового осциллятора E = D/2 coth(b/2).

Задание 2. Поменяйте значения параметров n, dx, N_MC. Как эти изменения сказываются на скорости и точности выполнения вычислений?

Задание 3. Выполните расчет энергии квантового осциллятора с помощью алгоритма Ванга - Ландау. Получите зависимость энергии от обратной безразмерной температуры b. В качестве значений обратной температуры можно взять

b = 0.25, 0.5, 1, 2, 4.

Выполните сравнение полученной зависимости с известным выражением для энергии квантового осциллятора E = D/2 coth(b/2).

Задание 4. Объясните увеличение отклонения результатов расчёта для b = 0.25 и b = 4. Подберите параметры расчёта для улучшения совпадения результатов численных вычислений с аналитическими результатами.

Задание 5. Выполните расчет энергии квантового осциллятора с помощью метода Фурье. Получите зависимость энергии от обратной безразмерной температуры b. В качестве значений температуры можно взять b = 0.25, 0.5, 1, 2, 4. Выполните сравнение полученной зависимости с известным выражением для энергии квантового осциллятора E = D/2 coth(b/2).

Задание 6. Поменяйте значения параметров N_f, da, N_MC. Как эти изменения сказываются на скорости и точности выполнения вычислений?

Задание 7. Реализуйте моделирование, используя параллельные вычисления.

II. Методы расчета решеточных моделей.

Задание 1. Определите набор входных параметров для моделирования методом Монте-Карло модели Изинга для ферромагнетика. Выполните обезразмеривание уравнений и начальных параметров.

Задание 2. Составьте программу моделирования методом Монте-Карло модели Изинга в простой кубической решетке (d = 3, число ближайших соседей равно 6).

Задание 3. Выполните программу. Вычислите средние теплоемкость и восприимчивость для значений величины k_BT/J в диапазоне от 3.0 до 7.0 с шагом 0.2 для различных значений длины ребра решетки

L = 4, 8, 16, 32 узлов.

Для расчета средних значений используйте n такое, чтобы на спин приходилось 1000 шагов Монте-Карло после установления равновесия. Оцените температуру фазового перехода T_c(L) по максимуму теплоемкости и восприимчивости.

Задание 4. Какая температура T_c сильнее зависит от L — найденная из C(T) или из χ(T )? Используйте те значения T_c(L), которые сильнее зависят от L, постройте график T_c(L) как функции L −1/ν для разных значений ν в диапазоне от 0.5 до 1.0. Покажите, что экстраполированное значение T_c(L = ∞) почти не зависит от величины ν. Сравните свою оценку для T_c бесконечной системы с наилучшим известным значением k_BT_c/J = 4.51.

Задание 5. Вычислите средние намагниченность, теплоемкость и восприимчивость для L = 4, 8, 16, 32 в простой кубической решетке. Оцените отношения критических индексов α/ν, β/ν, γ/ν. Сравните значения критических индексов с известными из теоретических расчетов.

Литература

Список обязательной литературы

1. Р. Фейнман, А. Хибс Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир 1968; или Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 1998.
2. Р. Фейнман, Статистическая механика, М.: Платон, 2000.
3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Статистическая физика. Часть 1. М.: Физматлит, 2001.

Список дополнительной литературы

1. В. В. Прудников, А. Н. Вакилов, П.В. Прудников Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. М.: Физматлит, 2009.
2. Х. Гулд, Я. Тобочник Компьютерное моделирование в физике. М.: Мир, 1990. т. 1, 2.
3. Д. В. Хеерман Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. М.: Наука, 1990.
4. Д. Френкель, Б. Смит Принципы компьютерного моделирования молекулярных систем: от алгоритмов к приложениям. М.: Научный мир, 2013. (перевод: D. Frenkel, B. Smit Understanding Molecular Simulation. From Algorithms to Applications. San Diego, Academic Press, 2002.)
5. F. Wang, D. P. Landau Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, pp. 2050–2053.
6. Д. Н. Колисниченко Linux: От новичка к профессионалу. СПб.: БХВ-Петербург, 2011.

Иные информационные источники

1. Кафедральные методические пособия
2. А. Ю. Захаров Функциональные методы в классической статистической физике: Учеб.–метод. пособие / НовГУ им. Ярослава Мудрого. — Великий Новгород, 2006.
3. А. Ю. Захаров Решеточные модели статистической физики: Учеб.–метод. пособие / НовГУ им. Ярослава Мудрого. — Великий Новгород, 2006.
4. Numerical Recipes in C, Second Edition (1992) http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.php