«Критические явления в анизотропных системах»

Специализация 510417 — Теоретическая и математическая физика

Автор программы

профессор, доктор физ.-мат. наук А.И. Соколов

Рецензент:

профессор, доктор физ.-мат. наук Л.Ц. Аджемян

Санкт-Петербург – 2003 г.

Содержание дисциплины

Темы лекций по дисциплине

1.1. Фазовые переходы в системах с нетривиальной симметрией.

• Магнитные и сегнетоэлектрические фазовые переходы в кубических и тетрагональных кристаллах.

• Сверхтекучесть. Сверхтекучие фазовые переходы в жидком гелии-3 и нейтронной жидкости.

• Сверхпроводимость. Фазовые переходы в сверхпроводниках с нетривиальными видами спаривания. Фазовые переходы в жидких кристаллах.

1.2. Критические явления в кубических ферромагнетиках.

• Кубическая модель с n-векторным параметром порядка. Флуктуационный гамильтониан.

• Ренормгрупповые (РГ) функции трехмерной кубической модели в однопетлевом приближении. Фазовые портрет уравнений ренормгруппы, фиксированные точки.

• Флуктуационная изотропизация (асимптотическая симметрия) и флуктуационная неустойчивость непрерывных фазовых переходов. Граничная размерность параметра порядка n*.

1.3. Критическая термодинамика кубической модели: многопетлевой ренормгрупповой

анализ.

• Ренормгрупповые функции трехмерной кубической модели: от трех- петлевого (1977 г.) к шестипетлевому (2000 г.) приближению. Специфическая симметрия кубической модели при n = 2.

• Граничная размерность n*: многопетлевые расчеты методами g- и ε-разложения. Изотропен ли кубический ферромагнетик в критической точке? Критические индексы.

• Разложение Ландау в критической области и высшие вершины (эффективные константы связи). Нелинейные восприимчивости кубического ферромагнетика вблизи точки Кюри, возможность экспериментальной идентификация критической анизотропии спиновой подсистемы.

• Критическое поведение двумерной n-векторной кубической модели. Точные результаты и многопетлевой ренормгрупповой анализ. Роль неаналитических членов.

• Кубическая модель в пределе n → 0. β-функции и критические индексы трехмерной слабонеупорядоченной модели Изинга. Отсутствие борелевской суммируемости. √ε-разложение и его особенности.

1.4. Критическое поведение кубических и тетрагональных сегнетоэлектриков.

• Дипольные силы и кристаллическая анизотропия. Кулоновская жесткость продольных флуктуаций в сегнетоэлектрике, недиагональность и анизотропия парного коррелятора.

• Фазовый портрет уравнений РГ, флуктуационная неустойчивость непрерывных фазовых переходов.

• Учет анизотропии коррелятора, эффект расщепления сегнетоэлектрического фазового перехода. Роль стрикционных взаимодействий.

• Флуктуации и диаграмма состояний титаната бария.

1.5. Критическая термодинамика сверхтекучих ферми-жидкостей.

• Флуктуационный гамильтониан сверхтекучего гелия-3. Фазы Андерсона-Морела и Бальяна-Вертхамера.

• Уравнения РГ в однопетлевом приближении. Неустойчивость непрерывных фазовых переходов и флуктуационный «клюв» на диаграмме состояний.

• Флуктуационный гамильтониан сверхтекучей нейтронной жидкости. Фазовые переходы первого рода между анизотропными сверхтекучими состояниями в веществе нейтронных звезд.

1.6. Критические явления в киральных системах.

• Геликоидальные магнетики, слоистые антиферромагнетики с треугольными решетками, сверхпроводники с d-спариванием и джозефсоновские сети во внешнем магнитном поле.

• Флуктуационный гамильтониан киральной модели с 2N-компонентным параметром порядка. Фазовый портрет уравнений РГ в однопетлевом приближении, граничные размерности N_с1 N_с2 и N _с3. Киральный класс универсальности и критические индексы.

• РГ анализ в двух- и трехпетлевом приближениях (g- и ε-разложения). Флуктуационная неустойчивость киральных переходов второго рода при физических значениях N.

• Эволюция картины РГ потоков при изменении N, появление устойчивой фиксированной точки типа «фокус». Критическое поведение трехмерной киральной модели в шестипетлевом приближении.

• Критическая термодинамика двумерной киральной модели.

Примерные темы типовых расчетов

• Расчет ренормгрупповых функций кубической модели в однопетлевом приближении.

• Расчет β-функций флуктуационной модели кубического сегнетоэлектрика.

• Анализ фазовых портретов уравнений ренормгруппы для систем с кубической

анизотропией.

• Расчет критических индексов n–векторной кубической модели.

• Нахождение уравнений ренормгруппы трехмерной киральной модели с n–компонентным параметром порядка.

Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу

1. Разложение Ландау для кубического ферромагнетика.

2. Параметр порядка в сверхтекучей ферми-жидкости (гелий-3 и вещество нейтронных звезд).

3. Фазовые переходы в анизотропных сверхпроводящих системах.

4. Уравнения ренормгруппы для кубического ферромагнетика и их фазовый портрет.

5. Флуктуационная неустойчивость фазовых переходов второго рода и асимптотическая симметрия (изотропизация).

6. Граничная размерность параметра порядка для трехмерной кубической модели; результаты многопетлевого ренормгруппового анализа.

7. Флуктуации и сегнетоэлектрические фазовые переходы в титанате бария

8. Критическая термодинамика трехмерной слабонеупорядоченной модели Изинга.

9. Критические явления в двумерных системах с обобщенной кубической симметрией.

10. Сверхтекучесть гелия-3, фазы Андерсона-Морела и Бальяна-Вертхамера.

11. Уравнения ренормгруппы для сверхтекучего гелия-3, флуктуационная неустойчивость сверхтекучих переходов второго рода.

12. Критическая термодинамика сверхтекучей нейтронной жидкости.

13. Фазовые переходы в геликоидальных магнетиках и слоистых фрустрированных антиферромагнетиках.

14. Уравнения ренормгруппы для трехмерной киральной модели в однопетлевом приближении.

15. Типы фазовых переходов в киральной модели и граничные значения размерности параметра порядка N.

16. Фазовые портреты уравнений ренормгруппы киральной модели при различных N, их зависимость от порядка приближения.

17. Киральный класс универсальности и природа устойчивой фиксированной точки уравнений ренормгруппы.

18. Критическое поведение двумерных киральных систем.

Литература

Основная

1. А. З. Паташинский, В. Л. Покровский. Флуктуационная теория фазовых переходов, «Наука», М., 1982, 382 с.

2. Ш. Ма. Современная теория критических явлений. «Мир», М., 1980, 298 с.

3. Физика сегнетоэлектрических явлений, под. ред. Г. А. Смоленского, «Наука», Л., 1985, 396 с., гл. 6.

4. А. Н. Васильев. Квантовополевая реноргруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. Изд. ПИЯФ, СПб, 1998, 774 с.

5. J. Zinn-Justin. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Clarendon Press, Oxford, 2002, 1054 p.

Дополнительная

6. A. Pelissetto and E. Vicari. Crticial phenomena and renormalization-group theory, Physcs

Reports, v. 368, 549-727, 2002.

7. Р. Фольк, Ю. Головач, Т. Яворский. Критические показатели трехмерной слаборазбавленой замороженной модели Изинга, УФН, т.173, 175-200, 2003.

Цель изучения дисциплины: формирование у студентов, обучающихся по учебному плану кафедры статистической физики, современного представления о характере и специфике критических явлений в анизотропных системах, таких как магнетики, сегнетоэлектрики, сверхпроводники и другие.

1. Задачи курса: знакомство с общими и специфическими чертами критического поведения анизотропных сред, изложение основ современного математического аппарата, позволяющего теоретически описать критическую термодинамику данных систем, формулировка универсальных закономерностей, характерных для критических явлений в анизотропных системах.

2. Место курса в профессиональной подготовке выпускника: курс является необходимым элементом профессиональной подготовки специалистов, призванных работать в такой актуальной и быстро развивающейся области современной статистической физики как теория фазовых переходов и критических явлений; он также весьма важен в плане расширения профессионального кругозора молодых специалистов.

3. Требования к уровню освоения дисциплины

• знать основы феноменологической теории фазовых переходов второго рода в основных типах анизотропных систем,

• знать принципы построения ренормгрупповой теории критических явлений в анизотропных системах и наиболее важные флуктуационные эффекты, сопровождающие фазовые переходы в них,

• понимать значение теоретико-полевых методов в современной теории критических явлений,

• уметь находить ренормгрупповые уравнения в низших приближениях для основных анизотропных моделей фазовых переходов.

• иметь представление о пределах применимости современной ренормгрупповой теории критических явлений.

Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего, промежуточного и итогового контроля