СД.В.03 – «Методы математического эксперимента в теории молекулярных систем»

Направление -510400 Физика

Разработчик:

профессор, доктор физ.-мат. наук П.Н. Воронцов-Вельяминов

Рецензент:

профессор кафедры В.П.Романов

статистической физики

доктор физ.-мат. наук Cанкт-Петербург – 2003 г.

Содержание дисциплины

1. Введение. Соотношение между аналитической теорией, физическим экспериментом и численным экспериментом. Вычислительная физика. Роль ЭВМ, их характеристики - оперативная и внешняя память, быстродействие, надежность. Языки программирования. Ввод и вывод информации. Поколения ЭВМ. Супер ЭВМ . Персональные компьютеры. Матричные процессоры. Системы типа Беовулф. Параллельные вычисления. Сети ЭВМ и информационные сети. Специализированные процессоры для численных экспериментов.

2. Мат. эксперимент динамического и стохастического типа (молекулярная динамика и Монте-Карло). Метод МК для расчета интегралов. Оценка погрешности выборочного среднего. Метод существенной выборки.

3. Основы термодинамики. Термодинамические величины: объем, давление, температура. Уравнение состояния. Внутренняя энергия, работа, тепло. Первое начало термодинамики. Второе начало. Энтропия. Равенство (неравенство) Клаузиуса. Термодинамические потенциалы, характеристические переменные. Термодинамические равенства и неравенства.

4. Основы равновесной статистической механики. Микро- и

макро-состояния. Ансамбли (микроканонический, канонический, большой канонический). Энергетический спектр и плотность состояний макросистемы. Статистическая энтропия. Тепловое равновесие и температура, материальное равновесие и хим. потенциал. Каноническое и другие распределения. Статсуммы. Переход к классическим статинтегралам. Связь с термодинамикой.

5. Проблема вычисления конфигурационных средних в классической статмеханике и метод Монте-Карло. Реализация существенной выборки с помощью аппарата марковских цепей. Переходные вероятности.

6. Метод Монте-Карло в статистической механике, методические вопросы: малое число частиц и моделирование микросистем (периодические граничные условия). Проблема учета дальних взаимодействий. Начальная релаксация и усреднение. Свободные параметры цепи и их оптимальный выбор. Статистическая и систематическая погрешности.

7. Величины, вычисляемые методом МК (канонический и другие ансамбли): внутренняя энергия ,уравнение состояния, термические коэффициенты (теплоемкость ,сжимаемость). Бинарная функция распределения.

8. Метод МК в расчете свойств моделей твердых шаров и дисков, ЛД-систем.

9. Метод МД( молекулярной динамики) в расчетах свойств простой жидкости (ЛД-система, аргон). Начальное состояние. Расчет температуры. Автокорреляторы и др. временные свойства. Конечно-разностные схемы.

10. Молекулярная динамика жидкой воды. Эффективный потенциал. Уравнения движения. Вычисляемые величины. Характер движения и структура воды на основе мат. эксперимента.

11. МК-моделирование решеточных систем. Модель Изинга, решеточный газ,

бинарный сплав, полимер на решетке.

12. Моделирование плазмы, ионных и полиионных систем. Проблема учета дальних взаимодействий. Метод Эвальда.

13. Моделирование молекул с внутренними степенями свободы. Метод МД для цепных молекул с жесткими связями (метод уравнений Лагранжа 1-го рода). Полимеры в растворе и метод Броуновской динамики. Микродинамика белков.

14. Метод МД с постоянной температурой и постоянными Т и Р (метод Нозе - Хувера).

15. Метод МК - молекулярного поля для полиэлектролита.

16. Гиббсовский ансамбль для моделирования фазового равновесия газ - жидкость.

17. Моделирование ограниченных систем: кластеры, тонкие слои, микрофазы в порах. Граничные условия. Фазовые переходы в малых системах: плавление, конденсация (аргон, ионные и водные кластеры).

18. Методы МК для расчета свободной энергии и химпотенциала: м. интегрирования энергии и давления; м. вставления частицы; м. многоступенчатой выборки; м. зонтичной выборки; м. термодинамической теории возмущений; м. термодинамического интегрирования.

19. Методы обобщенных ансамблей: м. расширенных ансамблей; энтропическое моделирование; м. обмена копиями; алгоритм Ванга-Ландау.
20. Метод МК в квантовой статистике. Равновесная матрица плотности в координатном представлении в форме фейнмановского интеграла. Весовая функция. Эстиматоры. Моделирование квантово-классических систем. Проблема моделирования системы тождественных частиц (бозоны, фермионы) при конечной температуре.

Примерные темы самостоятельной работы и типовых расчетов

• создание С- программы по моделированию случайного блуждания на решетке

и расчет среднего квадрата смещения, оценка погрешности;

• создание С- программы моделирования случайного блуждания в континуальном

пространстве, расчет среднего квадрата смещения, определение погрешности;

• изучение готовой программы на языке C по МК - моделированию системы частиц

с потенциалом Леннарда-Джонса и проведение расчетов конфигурационной

равновесной энергии при различных температурах;

• введение в готовую программу изменений для расчета распределения по энергиям

и бинарной функции распределения;

- расчет плотности состояний для классического осциллятора путем равномерного

блуждания и сравнение с аналитическим результатом;

Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу

1. Неравенство Чебышева и оценка погрешности выборочного среднего.

2. Метод равномерной и существенной выборки.

3. Проблема вычисления конфигурационных средних в классической статмеханике

и метод Монте-Карло.

4. Реализация существенной выборки с помощью аппарата марковских цепей. Переходные вероятности.

5. Методические вопросы в методе Монте-Карло: малое число частиц и моделирование микросистем (периодические граничные условия).

6. Методические вопросы в методе Монте-Карло: проблема учета дальних взаимодействий.

7. Методические вопросы в методе Монте-Карло: начальная релаксация и усреднение.

8. Свободные параметры цепи и их оптимальный выбор. Статистическая и систематическая погрешности.

9. Величины, вычисляемые методом МК: внутренняя энергия, уравнение состояния, термические коэффициенты, бинарная функция распределения.

10. Метод МК в расчете свойств моделей твердых шаров и дисков, ЛД-систем.

11. Метод МК в расчете свойств моделей заряженных шаров. Метод ближайшего образа. Метод Эвальда.

12. Конечно-разностные схемы в методе МД.

13. Метод МД в расчетах свойств простой жидкости. Начальное состояние. Расчет температуры.

14. Автокорреляторы и др. временные свойства в МД-расчетах.

15. Молекулярная динамика жидкой воды. Эффективный потенциал. Уравнения движения. Вычисляемые величины.

16. МК-моделирование решеточных систем. Модель Изинга, полимер на решетке.

17. Моделирование плазмы, ионных и полиионных систем. Проблема учета дальних взаимодействий. Метод Эвальда.

18. Моделирование ограниченных систем: кластеры, тонкие слои, микрофазы в порах.

Фазовые переходы в малых системах: плавление, конденсация.

19. Методы МК для расчета свободной энергии и химпотенциала.

20. Методы обобщенных ансамблей: м. расширенных ансамблей; энтропическое моделирование; алгоритм Ванга-Ландау.

21. Метод МК в квантовой статистике. Равновесная матрица плотности в координатном представлении. Весовая функция. Эстиматоры. Моделирование квантово-классических систем.

22. Проблема моделирования системы тождественных частиц (бозоны, фермионы) при конечной температуре.

Организационно-методический раздел

1. Цель изучения дисциплины: дать студентам, обучающимся по учебному плану

кафедры статистической физики, представление о компьютерных методах моделирования сильно неидеальных многочастичных систем – стохастическом, или методе Монте-Карло, и динамическом (методе молекулярной динамики) и об их многочисленных современных вариантах, а также на характерных конкретных примерах продемонстрировать действенность и предсказательную силу этих методов.

2. Задачи курса: ознакомление студентов с основами теории вероятности и

математической статистики в применении к стохастическим расчетам термодинамических величин молекулярных систем; знакомство с основными алгоритмами стохастического и динамического моделирования; знакомство с работами по моделированию простых жидкостей. ионных систем, полимеров. полиэлектролитов и биополимеров, а также систем,

подчиняющихся квантовой статистике.

1.3 Место курса в профессиональной подготовке выпускника: Знакомство с

современными методами моделирования свойств многочастичных систем является

необходимой составляющей в обучении студентов, специализирующихся по статистической

физике, поскольку эти методы являются в настоящее время одним из важнейших

инструментов теоретического исследования конкретных сложных систем, в значительной

мере заполняя пробел между чисто аналитическими методами теории и физическим

экспериментом. Курс способствует ориентации слушателей в их дальнейшем выборе

специализации в одной из областей статистической физики.

1.4 Требования к уровню освоения дисциплины:

• знать основы теории вероятности и математической статистики,

основные статистические распределения и способы оценки погрешности выборочного

среднего;

• представлять себе соотношение и связь между аналитической теорией,

физическим экспериментом и численным экспериментом;

-- знать, в чем состоит метод существенной выборки в стохастических

подходах при моделировании молекулярных систем в различных статистических

ансамблях;

-- иметь представление о конечно-разностных алгоритмах для численного решения

системы классических уравнений движения при моделировании эволюции молекулярной системы во времени;

-- знать, какие величины можно рассчитывать путем стохастического и динамического

моделирования на примерах систем с простыми потенциалами;

-- иметь представление об особенностях моделирования систем с дальнодействием;

• знать, какими способами моделируются системы с внутренними степенями свободы;

• иметь представление о методе Монте-Карло в квантовой статистике;

2. Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего, промежуточного и итогового контроля

3. Литература

Основная

1. В.М. Замалин, Г.Э. Норман, В.С. Филинов. Метод Монте-Карло в статистической

термодинамике. Наука, М. 1977.

2. Физика простых жидкостей, ч.2, гл.14, М.,1971.

3. К Биндер. Методы Монте-Карло в статистической физике, Мир, М.,1982.

4. Н.П. Бусленко, Д.Н.Голенко, И.М.Соболь, В.Г.Срагович, Ю.А.Шрейдер Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), М.,1962.

5. И.З.Фишер Статистическая теория жидкостей, М.,1961.

Дополнительная

1. Д.В.Хеерман. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике,

Наука, М.,1990.

2. Х. Гулд, Я. Тобочник Компьютерное моделирование в физике,

ч.1, ч.2, Мир, М., 1990.

3 M.P. Allen, D.I. Tildesley Сomputer Simulation of Liquids.

Clarendon Press. Oxford. 1987.

4. A. Rahman. Phys.Rev. (1964) v.196, p.A405.

5. A.Rahman, F.H.Stillinger. J.Chem.Phys.(1971) v.55, p.3336.

6. A.P.Lyubartsev, A.A.Martsinovsky, S.V. Shevkunov, P.N.Vorontsov-Velyaminov.

J.Chem.Phys.(1992) v.96,p.1776.

7. J. Lee. Phys.Rev.Lett.(1993) v. 71, p.211.

8. F.Wang, D.P. Landau, Phys.Rev.Lett.(2001) v. 86, p.2050.

9. Y. Iba. Int.J.Mod.Phys. (2001) v. 12, p.623.