\documentclass[russian, emlines, bezier]{article}                               
\RequirePackage[koi8-r]{inputenc} \RequirePackage[russian]{babel}               
\usepackage[russian]{babel}                                                     
\usepackage{amssymb,graphicx}                                                   
\usepackage{indentfirst}                                                        
\usepackage{amsmath}                                                            
\usepackage{mathrsfs}                                                           
\usepackage{color}
\renewcommand{\textheight}{25 cm}
\renewcommand{\textwidth}{17 cm}
\oddsidemargin=0cm \topmargin=-2.3cm
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Первая страница
\thispagestyle{empty}
\hskip-2cm
\rotatebox{90}{\Large{\it \bf{{\textcolor{black}{квантовые газы}}}}}
\vskip-3cm
\textcolor{black}{Плотность вероятности и статсумма идеального классичнского газа в БКА}
$$\rho_{BKA}(N,n)=\frac{1}{\Theta} \frac{1}{N!}
\exp\Bigg(\frac{\mu N-E_{N,n}}{kT}\Bigg)\qquad
\Omega=-kT\ln\Theta=-kTVe^{\mu/kT}(\sqrt{2\pi mkT}/\hbar)^3$$
$$\mbox{Уравнения состояния, энтропия: }\qquad
<N>=-\Bigg(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\Bigg)_{T,V}\qquad
p=-\Bigg(\frac{\partial \Omega}{\partial V}\Bigg)_{T,\mu}
\qquad S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega
    }{\partial T}\Biggl )_{V,\mu }$$
Потенциал Гиббса квантового 
ферми-бозе газа для системы с уровнями  $\{\epsilon_\alpha\}$
\begin{equation}
\nonumber \Omega =\sum_{\alpha}\Omega _{\alpha}=\mp
kT\sum _{\alpha} \ln (1\pm e^{(\mu-\varepsilon _{\alpha })
/(kT)}),\qquad \Omega _{\alpha } =\mp kT\ln (1\pm
e^{(\mu-\varepsilon _{\alpha })/(kT)}), 
\end{equation}
$$\mbox{Заселенность уровня }\epsilon_\alpha: \qquad<N_{\alpha}>=-\Big (\frac {\partial \Omega                           
_{\alpha }}{\partial \mu}\Big )_{T}                                             
=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$$
{\bf Массивный идеальный ферми - бозе газ} ($\varepsilon _{p} = p ^2/(2m)$): 
переход к непрерывному спектру
$$\sum_\alpha\ldots=
    g\sum _{p_{x},p_{y},p_{z}}\ldots=\frac {gV}{h^{3}}\int
    d^3{\bf p}\ldots,
\qquad    
\textcolor{black}{    \Omega =-AV\int \frac
    {d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\pm
    1}},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}.$$
\hline\vskip0.1cm
$$\textcolor{black}{F_k(\mu/kT )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int
    _0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\mu/kT }+1},\qquad  
    \zeta _k(a)=\frac{1}{\Gamma (k)}\int_0^\infty \frac {dx\quad
    x^{k-1}}{e^x/a-1}} ,\quad
    a=\exp\Bigg(\frac{\mu}{kT}\Bigg).$$
    \begin{eqnarray}
    \nonumber 
    \mbox{Вводим  }  \quad  {\cal G}_{k}({\mu}/{(kT)})\equiv \Biggr [
    \begin{array}{l} {F_{k}({\mu}/{kT})}\\\hskip0cm\\{\zeta _{k+1}(e^{\mu
    /(kT)})} \end{array}\quad\begin{array}{l}\mbox{    для
    ферми - газа}\\\hskip0cm\\\mbox{    для бозе -
    газа},\textcolor{black}{\quad \mu\leq 0},\quad \zeta _k(a)=\sum _{n=1}^{\infty } {a^n}{n^{-k}} \end{array}
    \end{eqnarray}
    
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vskip1cm
\hskip-2cm
\rotatebox{90}{\Large{\it \bf{{\textcolor{black}{квантовые газы}}}}}
\vskip-4cm
Плотность вероятности и статсумма идеального классичнского газа в БКА
$$\rho_{BKA}(N,n)=\frac{1}{\Theta}\frac{1}{N!}
\exp\Bigg(\frac{\mu N-E_{N,n}}{kT}\Bigg)\qquad
\Omega=-kT\ln\Theta=-kTVe^{\mu/kT}(\sqrt{2\pi mkT}/\hbar)^3$$
$$\mbox{Уравнения состояния, энтропия: }\qquad
<N>=-\Bigg(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\Bigg)_{T,V}\qquad
p=-\Bigg(\frac{\partial \Omega}{\partial V}\Bigg)_{T,\mu}
\qquad S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega
    }{\partial T}\Biggl )_{V,\mu }$$
Потенциал Гиббса квантового 
ферми-бозе газа для системы с уровнями  $\{\epsilon_\alpha\}$
\begin{equation}
\nonumber \Omega =\sum_{\alpha}\Omega _{\alpha}=\mp
kT\sum _{\alpha} \ln (1\pm e^{(\mu-\varepsilon _{\alpha })
/(kT)}),\qquad \Omega _{\alpha } =\mp kT\ln (1\pm
e^{(\mu-\varepsilon _{\alpha })/(kT)}), 
\end{equation}
$$\mbox{Заселенность уровня }\epsilon_\alpha: \qquad<N_{\alpha}>=-\Big (\frac {\partial \Omega                           
_{\alpha }}{\partial \mu}\Big )_{T}                                             
=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$$
{\bf Массивный идеальный ферми - бозе газ} ($\varepsilon _{p} = p ^2/(2m)$): 
переход к непрерывному спектру
$$\sum_\alpha\ldots=
    g\sum _{p_{x},p_{y},p_{z}}\ldots=\frac {gV}{h^{3}}\int
    d^3{\bf p}\ldots,
\qquad    
    \textcolor{black}{\Omega =-AV\int \frac
    {d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\pm
    1}},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}.$$        
\hline\vskip0.1cm
$$\textcolor{black}{F_k(\mu/kT )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int
    _0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\mu/kT }+1},\qquad  
    \zeta _k(a)=\frac{1}{\Gamma (k)}\int_0^\infty \frac {dx\quad
    x^{k-1}}{e^x/a-1}} ,\quad
    a=\exp\Bigg(\frac{\mu}{kT}\Bigg).$$
    \begin{eqnarray}
    \nonumber 
    \mbox{Вводим  }  \quad  {\cal G}_{k}({\mu}/{(kT)})\equiv \Biggr [
    \begin{array}{l} {F_{k}({\mu}/{kT})}\\\hskip0cm\\{\zeta _{k+1}(e^{\mu
    /(kT)})} \end{array}\quad\begin{array}{l}\mbox{    для
    ферми - газа}\\\hskip0cm\\\mbox{    для бозе -
    газа},\textcolor{black}{\quad \mu\leq 0} ,\quad \zeta _k(a)=\sum _{n=1}^{\infty } {a^n}{n^{-k}}\end{array}
    \end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Вторая страница
\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{eqnarray}
    \nonumber
\textcolor{black}{\partial_\eta {\cal G}_k(\eta )= {\cal G}_{k-1}(\eta )},\qquad\qquad    
\textcolor{black}{\Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{\cal
    G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})},\qquad \overline A=A\Gamma (5/2).
\end{eqnarray}
Уравнения состояния и теплоемкость
    \begin{equation}
    \nonumber \textcolor{black}{N= \overline AV(kT)^{3/2}{\cal
    G}_{1/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad
 p=\overline A(kT)^{5/2}{\cal
    G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),} 
\qquad C_V=T\Biggr (\frac {\partial S(V,T,\mu(V,T,N))
    }{\partial T}\Biggl )_{V,N }
    \end{equation}
Классический предел в задаче квантового идеального газа: \textcolor{black}{$\bar A\to\infty$}, поэтому 
$a\to 0 <=> \textcolor{black}{\mu/(kT)\to -\infty}$
$${\cal G}_{k-1}({\mu}/{(kT)}) =\frac a{\Gamma(k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x\pm
a}\approx a(1\mp \frac {a}{2^k}+O(a^2)) $$
Низкотемпературное поведение ферми - газов
\begin{eqnarray}
    \nonumber I=\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi
    (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1} =
    \int _{0}^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon
    )+ (kT)^{2}w\phi '(\mu)+ O((kT)^{4}),\quad w=2\int
    _{0}^{\infty}\frac {xdx}{e^{x}+1}=\frac{\pi^2}{6}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
    \nonumber
\mbox{Отсюда   } \mu=\varepsilon _{F}+O(T^2),\qquad p=\frac25 n\epsilon_F +O(T^2)
    \qquad \mbox{где }\quad \textcolor{black}{\varepsilon _{F}=\Bigg(\frac
    nA\Bigg)^{2/3}}
\end{equation}
Бозе - газ при низких температурах: $a\to 1<=>\textcolor{black}{\mu\to -0}$
    \begin{eqnarray}
    \nonumber \zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})\simeq \zeta(1)-
    \frac{\pi}{\Gamma(3/2)} \sqrt {\frac
    {|\mu |}{kT}}
    \end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vskip2cm
\begin{eqnarray}
    \nonumber
\textcolor{black}{\partial_\eta {\cal G}_k(\eta )= {\cal G}_{k-1}(\eta )},
\qquad\qquad    
\textcolor{black}{     \Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{\cal
    G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})},\qquad \overline A=A\Gamma (5/2).
\end{eqnarray}
Уравнения состояния и теплоемкость
    \begin{equation}
    \nonumber \textcolor{black}{N= \overline AV(kT)^{3/2}{\cal
    G}_{1/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad
 p=\overline A(kT)^{5/2}{\cal
    G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})}, 
\qquad C_V=T\Biggr (\frac {\partial S(V,T,\mu(V,T,N))
    }{\partial T}\Biggl )_{V,N }
    \end{equation}
Классический предел в задаче квантового идеального газа: \textcolor{black}{$\bar A\to\infty$}, поэтому 
$a\to 0 <=> \textcolor{black}{\mu/(kT)\to -\infty}$
$${\cal G}_{k-1}({\mu}/{(kT)}) =\frac a{\Gamma(k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x\pm
a}\approx a(1\mp \frac {a}{2^k}+O(a^2)) $$
Низкотемпературное поведение ферми - газов
\begin{eqnarray}
    \nonumber I=\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi
    (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1} =
    \int _{0}^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon
    )+ (kT)^{2}w\phi '(\mu)+ O((kT)^{4}),\quad w=2\int
    _{0}^{\infty}\frac {xdx}{e^{x}+1}=\frac{\pi^2}{6}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
    \nonumber
\mbox{Отсюда   } \mu=\varepsilon _{F}+O(T^2),\qquad p=\frac25 n\epsilon_F +O(T^2)
    \qquad \mbox{где }\quad \textcolor{black}{\varepsilon _{F}=\Bigg(\frac
    nA\Bigg)^{2/3}}
\end{equation}
Бозе - газ при низких температурах: $a\to 1<=>\textcolor{black}{\mu\to -0}$
    \begin{eqnarray}
    \nonumber \zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})\simeq \zeta(1)-
    \frac{\pi}{\Gamma(3/2)} \sqrt {\frac
    {|\mu |}{kT}}
    \end{eqnarray}
 \end{document}