Выдержка из

АННОТИРОВАННОГО ОТЧЕТА

о научно-исследовательской работе за 2010 год

Теоретико-полевые методы в исследовании симметрии

и динамики неоднородных микро- и макросистем _

Номер государственной регистрации НИР 01201052854

Характер НИР: фундаментальное научное исследование

Руководитель НИР: Браун Михаил Александрович, профессор, д. ф.-м. н.,

ФГОУВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»,_НИИ физики им. В. А. Фока

Развитие аналитических методов описания релаксации к стационарным режимам роста с учетом неизотермичности и стефановских течений при бинарной конденсации. Инстантонный анализ в 2-мерной модели развитой турбулентности.

Фактический объем средств на проведение НИР с начала ее проведения, включая отчетный этап НИР, 1507468 руб. Коды темы по ГРНТИ 29.05; 29.17; 29.19.

Полученные научные результаты (каф. статистической физики)

Найдено общее аналитическое решение в квадратурах для радиуса и концентрации раствора капли, изотермически растущей или испаряющейся в диффузионном или свободномолекулярном режиме в бинарной смеси паров. Полученное решение не ограничено приближением идеальности раствора или постоянства парциальных молекулярных объемов компонентов в капле и описывает динамику изменения размера и состава закритической капли при бинарной конденсации в смеси паров при произвольном начальном размере и составе капли.

Показано, что в случае малых (линейных) отклонений режима роста и состава капли от стационарности полученные решения описывают степенную релаксацию состава растущей капли.

Показано, что в нелинейной теории, когда отклонение концентрации раствора в капле от стационарного значения не является малым, использование закона стационарного изменения размера капли со временем при описании процесса релаксации ее химического состава становится неправомерным. Необходимость использования нелинейной теории проиллюстрирована в ситуации, когда стационарная скорость капли мала.

Найдено точное автомодельное решение задачи о росте капли в парогазовой среде при учете стефановского течения. Исследован предельный переход к ранее изученному случаю стефановского течения при стационарном режиме диффузии пара к капле.

Получена система уравнений для стационарных значений температуры и концентрации раствора в закритической капле с учетом тепловыделения в диффузионном или свободномолекулярном режиме конденсации в бинарной смеси паров.

В приближении идеальности раствора найдены соотношения для стационарной температуры растущей капли при сильных и слабых тепловых эффектах.

В общем случае и в случаях сильных и слабых тепловых эффектов численно рассчитаны зависимости температуры и концентрации в капле, а также зависимость коэффициента теплового торможения скорости роста капли от плотности пассивного газа.

Исследовано влияние величины теплот конденсации первого и второго компонентов на стационарные значения температуры и концентрации раствора в растущей капле.

Исследование асимптотик высоких порядков квантово-полевых разложений позволяет определить характер поведения рядов теории возмущений и существенно улучшить результаты вычислений путем подходящего пересуммирования сосчитанных отрезков соответствующих рядов. Методами инстантонного анализа эти исследования были проведены в конце прошлого века практически для всех моделей квантовой теории поля и, при обсуждении проблем статистической физики, для статических моделей критического поведения. Однако, в динамических моделях статистической физики, где основой являются стохастические уравнения Ланжевена, асимптотики квантово-полевых разложений в значительной степени не исследованы. К настоящему времени известно лишь поведение разложений в достаточно простых моделях Обухова — Крайчнана турбулентной диффузии (где возможен переход к т. н. лагранжевым переменным) и в стохастических моделях критической динамики, приводящих на больших временах к равновесному критическому поведению. В последнем классе моделей динамический «инстантон» был построен на основе известного статического инстантона.

Двумерная теория развитой турбулентности интересна в плане исследований асимптотик высоких порядков разложений тем, что в ней также существует статический предел, с течением времени она приводит к установлению максвелловского распределения по скоростям. Но, в отличие от моделей критической динамики, статический инстантон отсутствует. Поведение рядов теории возмущений в моделях развитой турбулентности ранее не исследовалось, многие авторы полагают эти ряды расходящимися, исходя лишь из аналогии с исследованными статическими моделями. Однако нами было показано, что при попытке инстантонного анализа характера поведения рядов в двумерной турбулентности, мы сталкиваемся с несуществованием решения уравнения стационарности — динамического «инстантона».

Поскольку задача инстантонного исследования рядов в данной модели оказалась достаточно сложной, была исследована упрощенная (0+1) мерная модель, описываемая стохастическим уравнением

∂_tφ_i(t)=νφ_i(t)+ge_ikφ²(t)+ξ(t),

где ξ(t) — случайная сила с гауссовым распределением, g — константа связи, ν — некоторый параметр, обеспечивающий затухание корреляционных функций на бесконечности. Данная модель похожа на модель двумерной развитой турбулентности тем, что в ней так же имеется статический предел, и также отсутствует статический инстантон.

Для данной модели был проведен анализ асимпотик высоких порядков разложений, основанный на поиске решений уравнений стационарности в классе негладких функций с последующим численным анализом неподлежащих стацфазному исследованию интегралов по граничным значениям. Показана существенная неоднородность асимптотик высоких порядков по аргументам корреляционных функций (реальным параметром разложения является переменная gt). Данная методика анализа может быть применена в двумерной теории развитой турбулентности, но приводит к значительным техническим сложностям.

В рамках упрощенной модели удалось, используя факт существования статической функции распределения, точно определить асимптотики высоких порядков разложений корреляционных функций в пределе малых времен. Показано, что в этой асимптотике ряды теории возмущений имеют конечный радиус сходимости, несмотря на то, что число диаграмм для корреляционных функций растет факториально с ростом порядка теории возмущений.

Аналогичный анализ (в асимптотике малых времен) был развит для модели двумерной развитой турбулентности. В этой модели задача не допускает точного решения. Асимптотику высоких порядков предложено искать методом инстантонного анализа в полученной эффективной статической модели. Показано, что в ней инстантон также не существует в классе гладких функций.

Сходная проблема была обнаружена в локальной, точно решаемой простой статической модели с действием φ²(x)+gφ⁴(x). Показано, что в данной модели асимптотики высоких порядков определяются инстантоном, лежащим в классе обобщенных функций φ_st~δ(x-x₀). Аналогичные приемы применены в теории развитой турбулентности.

Выведено интегральное уравнение на инстантон в асимптотике малых времен в двумерной модели развитой турбулентности. Показано, что ряды теории возмущений в данной области имеют конечный радиус сходимости при условии существования решения полученного уравнения. Исследованы асимптотики больших и малых импульсов решения предъявленного уравнения, показано, что они не запрещают существование решения. Исследована зависимость асимптотик высоких порядков от параметра обрезания в случае существования решения, показано, что она совпадает с анализом диаграмм прямой теории возмущений. Проведенный анализ позволяет заключить, что рады теории возмущений в теории развитой двумерной турбулентности в асимптотике малый времен, по-видимому, имеют конечный радиус сходимости.

Опубликовано

(всего по темплану, включая тематику каф ФВЭиЭЧ в рамках темплана)

32 статьи в зарубежных изданиях, 18 статей в ведущих российских научных журналах, 15 других научных публикаций. Сделано 56 докладов на научных конференциях. Все полученные результаты фундаментальных исследований являются новыми.

Использование (каф. статистической физики)

Полученные результаты используются в преподавании существующих дисциплин: курсе для аспирантов «Асимптотики высоких порядков квантовополевых разложений», спецкурсов для магистрантов «Теория критического поведения», «Актуальные задачи теории фазовых переходов первого рода». Создана новая дисциплина «Моделирование систем многих частиц» СДМ.01 Специальная лаборатория, разработчики Е.В. Аксенова, М.С. Кшевецкий, СПбГУ, физический факультет, кафедра статистической физики (утв. Ученым советом физического факультета 18.06.2010), 34 часа, читается студентам 5 курса.

Ключевые слова и словосочетания: Квантовая теория поля, фазовые переходы, турбулентность.