\documentclass[russian, emlines, bezier]{article}
\RequirePackage[koi8-r]{inputenc} \RequirePackage[russian]{babel}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,graphicx}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{multicol}[1999/05/25]

\renewcommand{\textheight}{22 cm}
\renewcommand{\textwidth}{17 cm}
\oddsidemargin=0cm \topmargin=-1cm
\begin{document}
%\renewcommand{\refname}{{\bfseries{Литература}}}

\begin{center}{\Large Термодинамика}\end{center}

\section*{Памятка студентам}
%\addcontentsline{toc}{section}{\hskip0.6cm Введение}
\begin{multicols}{2}
Потенциалы:
$$F=U-TS$$
$$ W=U+pV$$
$$\Phi=U+pV-TS$$
$$\Omega=U-TS-\mu N$$
Дифференциалы
$$dU=TdS-pdV+\mu dN$$
$$dF=-SdT-pdV+\mu dN$$
$$dW=TdS+Vdp+\mu dN$$
$$d\Phi=-SdT+Vdp+\mu dN$$
$$d\Omega=-SdT-pdV-Nd\mu$$
\end{multicols}
Якобиан
$$\frac{\partial (U, V)}{(x,y)}\equiv\begin{array}{|cc|}\displaystyle{\Big(\frac{\partial U}{\partial x}\Big)_y}&
\displaystyle{\Big(\frac{\partial U}{\partial y}\Big)_x}\\{}&{}\\ \displaystyle{\Big(\frac{\partial
V}{\partial x}\Big)_y}& \displaystyle{\Big(\frac{\partial V}{\partial y}\Big)_x}\end{array},
\qquad\qquad \Big( \frac{\partial U}{\partial
x}\Big)_y=\frac{\partial(U,y)}{\partial(x,y)}=-\frac{\partial(y,U)}{\partial(y,x)}$$ Свойство
$$\frac{\partial(U,V)}{\partial(x,y)}=\frac{\partial(U,V)}{\partial(t,s)}
\frac{\partial(t,s)}{\partial(x,y)}$$

\begin{center}
{\bf Введение. Понятие  энтропии в термодинамике.}
\end{center}

Рассказ о том, что переданное системе тепло $\delta Q$ не является полным дифференциалом 
(зависит не только от начального и конечного состояния с-мы). Для того, чтобы
тем не менее говорить о переданной теплоте в терминах полных дифференциалов
в термодинамике вводят $\delta Q/S$ -  полный дифференциал $dS$.

{\bf 1)}Два одинаковых бруска меди имеют разные температуры - 0 и 100 градусов Цельсия. 
Их помеситили в термос в контакте друг с другом. Насколько изменится энтропия вселенной,
когда бруски придут в термическое равновесие? Теплоемкость брусков при постоянном объеме
не зависит от температуры в интервале условий, оговоренных в задаче.

{\bf 2)} То же, но $C=bT$, начальные температуры 100 и 200 градусов Кельвина

$C=bT=dU/dT$ следовательно $U=U_0+bT^2/2$ По закону сохранения энергии $2T_k^2=100^2+200^2$, 
т.е. $T_k=158$. Как и в предыдущей задаче

{\bf 3)} На гуковскую пружинку жесткостью $K$ подвесили груз массой $m$ и отпустили.
Как изменится энтропия вселенной после того, как колебания затухнут. Считать температуру
пружинки и комнаты $T$.

{\bf 4)} Ток 0,5 Ампер течет через сопротивление 2 ома 100 секунд. Начальная температура
системы 300 К. Теплоемкость С=0,24 Дж/К. Температура системы меняется значительно. Как изменится
энтропия вселенной?

{\bf 5)} Конденсатор $C$ зарядили от батареи с напряжением $U$ при температуре $T$.  
Как изм энтропия вселенной?

\begin{center}
{\bf Энтропия как мера вероятности}
\end{center}

{\bf 6)} Система состоит из $N$ частиц с магнитным моментом $\mu $, которые 
сидят в магнитном поле $B$ и могут иметь 2 направления - вверх и вниз. Частицам
выгодно выстроится против поля. 
Энергия частицы $\epsilon=\pm\mu B$ в зависимости от ориентации спина. 
Пусть в данный момент в системе
$n_1$ частиц со спинами вверх (с отрицательной энергией).
Найти энтропию системы как функцию $N$, $n_1$, зависимость энергии от температуры а также
удельную намагниченность. Частицы не взаимодействуют друг с другом.

{\bf 7)} Предположим, атом вылетел из кристаллической решетки
на поверхность, образовалась дырка - дефект Шотки, энергия на образование 
одной дырки $\epsilon$ равна 1 eV.
Найти энтропию кристалла, содержащего $n$ дырок и $N$ атомов и найти среднее количество дырок в 
единице объема кристалла при комнатной температуре.


{\bf Аналогично:} То же для одномерного парамагнита в котором образовалось $n$ доменных стенок, энергия
каждой стенки $\epsilon$.


{\bf Аналогично:} То же, если: $m$ случайных атомов в решетке сместились в междоузлие,
число междоузлий $N$,  энергия на образование дефекта $\epsilon$. 

{\bf 8)} Жесткость гуковской резинки как функция температуры  - простейшая модель:
Цепочка из $N$ звеньев, каждое из которых имеет 2 возможных ориентации + или -. Длина
резинки $l=(n_{+}-n_{-})d$. Записать выражение для энтропии $S(N, n_+)$ и вычислить
зависимость жесткости от температуры.

\begin{center}
{\bf Часть 1. Термодинамика, тождества}
\end{center}
Задачи из "Романов - Кондратьев"

\begin{center}
{\bf Часть 2. Распределения по энергии. Разница между ансамблями.}
\end{center}

См. Романов Кондратьев. Кроме того, разобрать задачи:

{\bf Получить из микроканонического распределения распределение Гиббса в идеальном газе}

{\bf Получить функцию распределения по энергии для идеального газа}

{\bf Получить функцию распределения по флуктуациям энергии (Гауссовский закон)}

\end{document}